Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$, $SD$.
a. Chứng minh $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(AHK)$.
b. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $CD$ và mặt phẳng $(AHK)$.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Chứng minh $SC\perp (AHK)$.**

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Mà $AB\perp AD$ (đáy là hình vuông) nên theo định lý ba đường vuông góc, $AB\perp SB$, tức $AH\perp SB$ (vì $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$).

Tương tự, $AD\perp SD$ nên $AK\perp SD$.

Xét tam giác $SAC$: $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC$; và $AB\perp BC$, $SA\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$. Do đó $A{C}^2=S{A}^2+...$ nói riêng $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2=a^2+2a^2=3a^2$, tức tam giác $SAC$ vuông tại $A$ với $SC$ là cạnh huyền.

Ta có: $AH\perp SB$ và $AH\perp BC$ (vì $BC\perp (SAB)$) $\Rightarrow AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp SC$.

Tương tự: $AK\perp SD$ và $AK\perp DC$ (vì $DC\perp (SAD)$) $\Rightarrow AK\perp (SDC)\Rightarrow AK\perp SC$.

Vậy $SC\perp AH$, $SC\perp AK$, với $AH,AK$ cắt nhau trong $(AHK)$, suy ra $SC\perp (AHK)$. $■$

**b) Tính $\sin$ góc giữa $CD$ và $(AHK)$.**

Thiết lập hệ trục tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $S(0;0;a)$.

Hình chiếu $H$ của $A$ lên $SB$: đường $SB$ có vectơ chỉ phương $(a;0;-a)$, giải được $H\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right)$. Tương tự $K\left(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)$.

Vectơ pháp tuyến của $(AHK)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AH}\times \overrightarrow{AK}=\left(\frac{a}{2};0;\frac{a}{2}\right)\times \left(0;\frac{a}{2};\frac{a}{2}\right)=\frac{a^2}{4}(-1;-1;1).$$

Vì $CD\parallel AB$, góc giữa $CD$ và $(AHK)$ bằng góc giữa $AB$ và $(AHK)$, với ${\vec{u}}_{CD}=(1;0;0)$:
$$\sin \theta =\frac{|{\vec{u}}_{CD}\cdot \vec{n}|}{|{\vec{u}}_{CD}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Vậy $\sin$ góc tạo bởi $CD$ và $(AHK)$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$.