Xác định tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn
$$P(x^2)+P(y^2)+P(z^2)=2[P(xy)+P(yz)+P(zx)]$$
với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}$ và $x+y+z=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án: $P(x)=a{x}^2$ với $a$ là hằng số thực tùy ý.

Bước 1: Thay $x=y=z=0$ ta được $3P(0)=6P(0)$, suy ra $P(0)=0$.

Bước 2: Thay $(x,y,z)=(t,-t,0)$ (thỏa $x+y+z=0$):
$$P(t^2)+P(t^2)+P(0)=2[P(-t^2)+P(0)+P(0)]\Rightarrow P(t^2)=P(-t^2).$$
Vì tập $$\begin{gathered} {t}^2:t\in \mathbb{R} \\ =[0,\infty ) \end{gathered}$$ và $P$ là đa thức, hai đa thức $P(u)$ và $P(-u)$ trùng nhau trên $[0,\infty )$ nên trùng nhau trên toàn $mathbbR$, tức $P$ là đa thức chẵn. Vậy $P(x)=Q(x^2)$ với $$\begin{gathered} Q(t)= \\ su{m}_{k=0}^n{c}_k{t}^k \end{gathered}$$.

Bước 3: Khi $x+y+z=0$, không mất tổng quát giả sử $z=-(x+y)$. Đặt $u=x^2,v=y^2$, phương trình trở thành
$$\begin{gathered} Q(u^2)+Q(v^2)+Q((u+v{)}^2)=2 \\ big[Q(uv)+Q(v(u+v))+Q(u(u+v)) \\ big] \end{gathered}$$
với mọi $$\begin{gathered} u,v \\ ge0 \end{gathered}$$, do đó là đồng nhất thức đa thức theo $u,v$. So sánh từng bậc, với mỗi $k$ phải có
$$\begin{gathered} u^{2k}+v^{2k}+(u+v{)}^{2k}=2 \\ big[(uv{)}^k+(v(u+v){)}^k+(u(u+v){)}^k]. \end{gathered}$$

- $k=0$: $$\begin{gathered} 3c_0=6c_0 \\ Rightarrow{c}_0=0 \end{gathered}$$.
- $k=1$: vế trái $=2u^2+2v^2+2uv$, vế phải $=2u^2+2v^2+6uv$, không đồng nhất $Rightarrow{c}_1=0$.
- $$\begin{gathered} k \\ ge1 \end{gathered}$$ nói chung: thay $v=u$, vế trái $=u^{2k}(2+4^k)$, vế phải $=2u^{2k}(1+2^{k+1})$. Đồng nhất đòi hỏi $4^k=2^{k+2}$, tức $2k=k+2$, suy ra $k=2$. Vậy $c_k=0$ với mọi $$\begin{gathered} k \\ neq2 \end{gathered}$$.

Bước 4: Kiểm tra $k=2$ thỏa mãn: với $x+y+z=0$ ta có $x^2+y^2+z^2=-2(xy+yz+zx)$ và
$$x^4+y^4+z^4=2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2),$$
(do $(x^2+y^2+z^2{)}^2=4(xy+yz+zx{)}^2$ và $(xy+yz+zx{)}^2=x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2+2xyz(x+y+z)$). Do đó với $P(x)=a{x}^2$:
$$P(x^2)+P(y^2)+P(z^2)=a(x^4+y^4+z^4)=2a(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)=2[P(xy)+P(yz)+P(zx)].$$

Kết luận: Tất cả các đa thức thỏa mãn là $P(x)=a{x}^2$, $$\begin{gathered} a \\ in \\ mathbbR \end{gathered}$$.