Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y+3=0$.
Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$, biết tiếp tuyến lần lượt cắt hai trục $Ox$, $Oy$ tại $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông cân.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y+3=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4-3}=\sqrt{2}$.

Tiếp tuyến cắt $Ox$ tại $A(a;0)$, cắt $Oy$ tại $B(0;b)$ với $a\ne 0$, $b\ne 0$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ (do hai trục vuông góc), vuông cân khi $OA=OB$, tức $|a|=|b|$.

Phương trình tiếp tuyến dạng: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Điều kiện tiếp tuyến: $d(I,\Delta )=R=\sqrt{2}$, tức $\frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\sqrt{2}$, tương đương ${\left(b+2a-ab\right)}^2=2(a^2+b^2)$.

TH1: $b=a$. Khi đó $(3a-a^2{)}^2=4a^2\iff a^2(a-3{)}^2=4a^2\iff (a-3{)}^2=4\iff a=1$ hoặc $a=5$.
→ Hai tiếp tuyến: $x+y=1$ và $x+y=5$.

TH2: $b=-a$. Khi đó $(-a+2a+a^2{)}^2=4a^2\iff a^2(a+1{)}^2=4a^2\iff (a+1{)}^2=4\iff a=1$ hoặc $a=-3$.
→ Hai tiếp tuyến: $x-y=1$ và $x-y=-3$.

Kiểm tra: với $x+y=1$: $d=\frac{|1+2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x+y=5$: $d=\frac{|3-5|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x-y=1$: $d=\frac{|1-2-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓; với $x-y=-3$: $d=\frac{|1-2+3|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ ✓.

Vậy có 4 tiếp tuyến thỏa mãn: $x+y-1=0$; $x+y-5=0$; $x-y-1=0$; $x-y+3=0$.