a) Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi $u_1=3$ và $u_{n+1}=3u_n-2,\forall n\ge 1$. Tìm công thức tổng quát của dãy số đã cho.
b) Cho dãy số nguyên dương $(x_n)$ là một dãy tăng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:
i. Số hàng đầu tiên $x_1$ không chia hết cho 5.
ii. Hiệu $x_{n+1}^3-x_n^3$ luôn chia hết cho $5^n$ với mọi $n\ge 1$.
Chứng minh rằng $x_{n+1}^3-x_n^3>125^n,\forall n\ge 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6.

a) Ta có $u_{n+1}=3u_n-2\iff u_{n+1}-1=3(u_n-1)$. Đặt $v_n=u_n-1$, thì $v_{n+1}=3v_n$ nên $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $q=3$ với số hạng đầu $v_1=u_1-1=2$. Vậy $v_n=2\cdot 3^{n-1}$, suy ra công thức tổng quát:
$$u_n=2\cdot 3^{n-1}+1,\forall n\ge 1.$$
(Kiểm tra: $u_1=2+1=3$ đúng; $u_2=6+1=7=3\cdot 3-2$ đúng.)

b) Trước hết chứng minh $5\nmid x_n$ với mọi $n$. Thật vậy, $5\nmid x_1$ theo giả thiết. Nếu $5\mid x_n$ thì từ $5^n\mid x_{n+1}^3-x_n^3$ (với $n\ge 1$) suy ra $x_{n+1}^3\equiv x_n^3\equiv 0(\mathrm{mod}5)$, do đó $5\mid x_{n+1}$; bằng quy nạp sẽ có $5\mid x_n$ với mọi $n$, mâu thuẫn với $5\nmid x_1$. Vậy $5\nmid x_n$ với mọi $n$.

Theo Fermat nhỏ, $a^3\equiv a(\mathrm{mod}5)$ với mọi số nguyên $a$. Do $5\mid x_{n+1}^3-x_n^3$ nên $x_{n+1}^3\equiv x_n^3(\mathrm{mod}5)$, suy ra $x_{n+1}\equiv x_n(\mathrm{mod}5)$.

Phân tích:
$$x_{n+1}^3-x_n^3=(x_{n+1}-x_n)\left(x_{n+1}^2+x_{n+1}{x}_n+x_n^2\right).$$
Đặt $d=x_{n+1}-x_n\ge 1$ (vì dãy tăng) và $F=x_{n+1}^2+x_{n+1}{x}_n+x_n^2$. Vì $x_{n+1}\equiv x_n(\mathrm{mod}5)$ nên
$$F\equiv 3x_n^2(\mathrm{mod}5).$$
Vì $5\nmid x_n$ nên $5\nmid 3x_n^2$, tức $\gcd (F,5)=1$. Mà $5^n\mid d\cdot F$, do đó $5^n\mid d$, suy ra $d\ge 5^n$ (vì $d$ là bội dương của $5^n$).

Khi đó, vì dãy tăng nên $x_{n+1}=x_n+d\ge 1+5^n$, do đó
$$F=x_{n+1}^2+x_{n+1}{x}_n+x_n^2>x_{n+1}^2\ge (5^n+1{)}^2>5^{2n}.$$
Vậy
$$x_{n+1}^3-x_n^3=d\cdot F>5^n\cdot 5^{2n}=5^{3n}=125^n,\forall n\ge 1.$$
Điều phải chứng minh.