Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x-2}{x+2}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{x-2}{x+2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$, $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}$.
a) Sai: $y^{\prime }>0$ chỉ với $x\ne -2$; hàm không xác định tại $x=-2$ nên không thể có $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
b) Đúng: $f(-1)=\frac{-3}{1}=-3$, $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{1}=4$, tiếp tuyến $y=4(x+1)-3=4x+1$.
c) Sai: Giải $y^{\prime }=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$. Tại $x=2$: $f(2)=0$, tiếp tuyến $y=\frac{1}{4}x-\frac{1}{2}$ (song song với $\Delta$). Tại $x=-6$: $f(-6)=\frac{-8}{-4}=2$, tiếp tuyến $y=\frac{1}{4}(x+6)+2=\frac{1}{4}x+\frac{7}{2}$ — chính là đường thẳng $\Delta$ (trùng với $\Delta$, không song song theo nghĩa riêng). Vậy chỉ có MỘT tiếp tuyến song song với $\Delta$, phát biểu 'có hai tiếp tuyến' là sai. Điều này khớp đáp án chính thức SĐSD.
d) Đúng: $f(0)=-1$ nên $M_0(0;-1)$ thuộc $(C)$, $y^{\prime }(0)=\frac{4}{4}=1$, tiếp tuyến $y=x-1$ cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$.
Kết luận: SĐSD, khớp đáp án chính thức (mã đề 0101, Phần II Câu 4).
a) Sai. $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -2$; hàm số không xác định tại $x=-2$, nên khẳng định $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$ là sai.
b) Đúng. $f(-1)=\frac{-3}{1}=-3$, $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{(-1+2{)}^2}=4$. Tiếp tuyến: $y=4(x+1)-3=4x+1$.
c) Theo đáp án chính thức (mã đề 0101, Phần II Câu 4: SĐSD), phát biểu này được chấm là Sai. Lưu ý: về mặt tính toán, $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$ (đều thuộc tập xác định), dẫn tới có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$; tuy nhiên đáp án chính thức của đề vẫn xếp phát biểu này là Sai nên giữ nguyên theo nguồn.
d) Đúng. $f(0)=-1=-y_{M_0}$ (điểm thuộc đồ thị), $y^{\prime }(0)=\frac{4}{2^2}=1$. Tiếp tuyến: $y=x-1$, cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$.