Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x-2}{x+2}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xác minh trên ảnh đáp án trang 9: Mã đề 0102, Phần II Câu 1 là SDSD. a) $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -2$, hàm số không xác định tại $x=-2$, nên khẳng định $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$ SAI. b) $f(-1)=-3$, $y^{\prime }(-1)=4$, tiếp tuyến $y=4(x+1)-3=4x+1$ ĐÚNG. c) Về mặt tính toán, $\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$, cho hai tiếp tuyến song song với $\Delta$; tuy nhiên đáp án chính thức (trang 9) ghi ý c) là SAI — giữ phán định của nguồn, xung đột được ghi nhận. d) $f(0)=-1$, $y^{\prime }(0)=1$, tiếp tuyến $y=x-1$ cắt hai trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ ĐÚNG.
a) Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+2)-(x-2)}{(x+2{)}^2}=\frac{4}{(x+2{)}^2}$. Hàm số không xác định tại $x=-2$, do đó $y^{\prime }>0$ không đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ (chỉ đúng với $x\ne -2$). Khớp đáp án chính thức SDSD (trang 9). Vậy ý a) SAI.
b) Với $x_0=-1$: $f(-1)=\frac{-1-2}{-1+2}=-3$ và $y^{\prime }(-1)=\frac{4}{(-1+2{)}^2}=4$. Phương trình tiếp tuyến: $y=4(x+1)-3=4x+1$. Khớp đáp án chính thức SDSD (trang 9). Vậy ý b) ĐÚNG.
c) Đáp án chính thức (Mã đề 0102, Phần II Câu 1: SDSD, trang 9) cho ý c) là SAI; giữ nguyên phán định của nguồn. Lưu ý mâu thuẫn về mặt tính toán: $y^{\prime }=\frac{4}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{4}\iff (x+2{)}^2=16\iff x=2$ hoặc $x=-6$, tức có hai tiếp tuyến song song với $\Delta$, nên ý c) đúng về mặt tính toán. Xung đột giữa tính toán và đáp án chính thức đã được ghi nhận, không tự thay đổi đáp án của nguồn.
d) Tại $x_0=0$: $f(0)=\frac{-2}{2}=-1$ (điểm $M_0(0;-1)$ thuộc đồ thị) và $y^{\prime }(0)=\frac{4}{2^2}=1$. Tiếp tuyến: $y=1\cdot (x-0)-1=x-1$. Đường thẳng $y=x-1$ cắt các trục tại $(1;0)$ và $(0;-1)$, tạo với các trục tọa độ tam giác vuông cân có diện tích $\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$. Khớp đáp án chính thức SDSD (trang 9). Vậy ý d) ĐÚNG.