Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $2\sqrt{3}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều, cạnh đáy $2a$, cạnh bên (chiều cao) $h=2\sqrt{3}a$.
a) $A{B}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{B}^{\prime 2}}=\sqrt{4a^2+12a^2}=4a$. Góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là góc giữa $A{B}^{\prime }$ và hình chiếu $A^{\prime }B$: $\sin \alpha =\frac{B{B}^{\prime }}{A{B}^{\prime }}=\frac{2\sqrt{3}a}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }\ne 30^{\circ }$. Sai.
b) $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }\subset (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, nên $d(A{A}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime })=d(A,(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C))=d(A,B^{\prime }{C}^{\prime })$ trong đáy = đường cao tam giác đều cạnh $2a$ là $\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
c) $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}{a}^2$, $V=S\cdot h=\sqrt{3}{a}^2\cdot 2\sqrt{3}a=6a^3$. Đúng.
d) Tọa độ: $A(0,0,0),B(2a,0,0),C(a,\sqrt{3}a,0),A^{\prime }(0,0,2\sqrt{3}a)$. Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ qua $A$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2a,0,2\sqrt{3}a)\times (a,\sqrt{3}a,2\sqrt{3}a)=(-6a^2,-2\sqrt{3}{a}^2,2\sqrt{3}{a}^2)$, tức $3x+\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0$. Khoảng cách từ $A^{\prime }$: $d=\frac{|-\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}a|}{\sqrt{9+3+3}}=\frac{6a}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}a$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, Phần II câu 3: SSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{3}a}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \alpha =60^{\circ }\ne 30^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách bằng đường cao tam giác đều cạnh $2a$: $a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\sqrt{3}{a}^2\cdot 2\sqrt{3}a=6a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính bằng tọa độ được $d(A^{\prime },(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }))=\frac{6a}{\sqrt{15}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}a$.