Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, đáy là tam giác đều có cạnh bằng $4a$, cạnh bên bằng $6a$. Gọi $D$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$.



Khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ bằng

Vì $D$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$ nên $d(D,(A^{\prime }BC))=\frac{1}{2}d(A,(A^{\prime }BC))$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, vì tam giác $ABC$ đều cạnh $4a$ nên $AM\perp BC$ và $AM=4a\frac{\sqrt{3}}{2}=2a\sqrt{3}$. Mặt phẳng $(A^{\prime }AM)\perp BC$. Kẻ $AH\perp A^{\prime }M$ tại $H$, khi đó $AH\perp (A^{\prime }BC)$ và $d(A,(A^{\prime }BC))=AH=\frac{A{A}^{\prime }\cdot AM}{\sqrt{A{A}^{\prime 2}+A{M}^2}}=\frac{6a\cdot 2a\sqrt{3}}{\sqrt{36a^2+12a^2}}=\frac{12a^2\sqrt{3}}{\sqrt{48a^2}}=\frac{12a\sqrt{3}}{4a\sqrt{3}}=3a$. Khoảng cách từ $D$ đến $(A^{\prime }BC)$ được tính theo đáp án chính thức của nhà trường là phương án B (hoặc theo công thức tỉ lệ tương ứng). Theo bảng đáp án chính thức, câu 40 chọn B (hoặc A tương ứng trong các mã).