Tính tổng các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}(m-2)x^3-(m-2)x^2+(m-3)x+m^2$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$?

Xét hai trường hợp:
- TH1: $m-2=0\iff m=2$. Khi đó $y=-x+4$, hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy $m=2$ thỏa mãn.
- TH2: $m-2\ne 0$. Ta có $y^{\prime }=(m-2)x^2-2(m-2)x+(m-3)$. Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff \{\begin{array}{l}m-2<0\\ {\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2-(m-2)(m-3)\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m<2\\ m-2\le 0\end{array}\iff m<2$.
Các giá trị nguyên dương của $m$ là $m=1$ và $m=2$. Tổng của chúng là $1+2=3$. Vậy chọn B.