Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=4,AD=3$ và $A{A}^{\prime }=12$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ trùng với điểm $A^{\prime }$; các tia $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime },A^{\prime }A$ lần lượt trùng với các tia $Ox,Oy,Oz$ (tham khảo hình vẽ). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$.

a) Đúng. Tọa độ của điểm $D$ là $(0;3;12)$.
b) Sai. $A(0;0;12)$, $B(4;0;12)\Rightarrow M(2;0;12)$. $D(0;3;12)\Rightarrow \overrightarrow{MD}(-2;3;0)$, khác $(2;-3;0)$.
c) Đúng. $C^{\prime }(4;3;0)$. $(MD{C}^{\prime })$ có hai VTCP là $\overrightarrow{MD}(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}(2;3;-12)$, tích có hướng $(-36;-24;-12)$, suy ra $\vec{n}=-\frac{1}{12}\cdot (-36;-24;-12)=(3;2;1)$.
d) Sai. Mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $3x+2y+z-18=0$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $$d(A^{\prime };(MD{C}^{\prime }))=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81<5$$
a) Đúng. Tọa độ của điểm $D$ là $(0;3;12)$.
b) Sai. $A(0;0;12)$, $B(4;0;12)\Rightarrow M(2;0;12)$. $D(0;3;12)\Rightarrow \overrightarrow{MD}(-2;3;0)$, khác $(2;-3;0)$.
c) Đúng. $C^{\prime }(4;3;0)$. $(MD{C}^{\prime })$ có hai VTCP là $\overrightarrow{MD}(-2;3;0)$ và $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}(2;3;-12)$. $$\left[\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& -12\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}0& -2\\ -12& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 3\\ 2& 3\end{array}\right|\right)=(-36;-24;-12).$$ Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$ là $$\vec{n}=-\frac{1}{12}\cdot \left[\overrightarrow{MD},\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\right]=-\frac{1}{12}\cdot (-36;-24;-12)=(3;2;1).$$
d) Sai. Mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$ đi qua điểm $C^{\prime }(4;3;0)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;2;1)$ $\Rightarrow$ có phương trình: $3(x-4)+2(y-3)+1(z-0)=0\iff 3x+2y+z-18=0$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }(0;0;0)$ đến mặt phẳng $(MD{C}^{\prime })$: $$d(A^{\prime };(MD{C}^{\prime }))=\frac{\left|3\cdot 0+2\cdot 0+0-18\right|}{\sqrt{3^2+2^2+1^2}}=\frac{18}{\sqrt{14}}\approx 4,81<5$$