Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a$, $AD=\sqrt{3}a$, góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$ bằng $60^{\circ }$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $2$, $SA=3$. Biết côsin của góc nhị diện $[S,BD,C]$ bằng $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$, $c$ là số nguyên tố, $b>0$. Tính giá trị của biểu thức $P=a+b+c$.

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $AC=2A{A}^{\prime }=2a\sqrt{3}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(C^{\prime }BD)$ bằng

Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $6$ cm, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và số đo của góc nhị diện $[B,SC,D]$ bằng $120^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng bao nhiêu centimet khối?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (tham khảo hình vẽ).



Số đo của góc nhị diện $[A^{\prime },BC,D]$ bằng

Cho hình chóp $S.ABC$ có $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB=a,AC=a\sqrt{3}$. Cạnh bên $SA=\frac{a}{2}$ vuông góc với mặt đáy. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$ (tham khảo hình vẽ). Giá trị $\sin$ của góc giữa hai mặt phẳng $(BD{A}^{\prime })$ và $(ABCD)$ bằng