Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$, chiều cao bằng $2a$ và $O$ là tâm của đáy; $M$ là trung điểm của cạnh $SB$. Bằng cách thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên dưới, cosin của góc giữa đường thẳng $DM$ và mặt phẳng $(SBC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a;b;c)$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Khi đó, $\sin (\Delta ,(P))$ bằng

Cho hình chóp tam giác $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$ và $SA=\sqrt{7}$, $AB=1$, $AC=2$, $\widehat{BAC}=120^{\circ }$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB$, $SC$. Giá trị côsin của góc tạo bởi đường thẳng $SA$ và $mp(AMN)$ bằng bao nhiêu (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trên một sườn núi (có độ nghiêng dều), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như hình bên. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là $O(0;0;0),A(3;-4;2),B(-5;-2;1)$, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm $(0;0;5)$ và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Tính tổng các góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=6+5t\\ y=2+t\\ z=1\end{array}$ và mặt phẳng $(P):3x-2y+1=0$. Góc hợp bởi giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ bằng

Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng $(Oxy)$ là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí $A(0;10;0)$ với vận tốc $\vec{v}=(150;150;40)$. Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường bằng và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;2;-1)$ và $B(3;2;-4)$ và mặt phẳng $(P):2x+2y+z-6=0$.