Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$. $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SBD)$. $J$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$. Khi đó tỉ số $\frac{IB}{IJ}$ là

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ affine: $A=\vec{0}$, $B=\vec{b}$, $D=\vec{d}$, $C=\vec{b}+\vec{d}$, $S=\vec{s}$. Khi đó $M=\frac{\vec{b}}{2}$, $N=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$.

Mặt phẳng $(SBD)$ gồm các điểm $\alpha \vec{s}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{d}$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$.

• Đường thẳng $AN$: $t\cdot \frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{2}$, tức $\alpha =\beta =\gamma =\frac{t}{2}$. Điều kiện $\frac{3t}{2}=1$ cho $t=\frac{2}{3}$, nên $I=\frac{\vec{s}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$.

• Đường thẳng $MN$: $\frac{\vec{b}}{2}+u\cdot \frac{\vec{s}+\vec{d}}{2}$, tức $\alpha =\gamma =\frac{u}{2}$, $\beta =\frac{1}{2}$. Điều kiện $\frac{1+2u}{2}=1$ cho $u=\frac{1}{2}$, nên $J=\frac{\vec{s}+2\vec{b}+\vec{d}}{4}$.

So sánh: $\overrightarrow{IB}=\vec{b}-I=-\frac{\vec{s}-2\vec{b}+\vec{d}}{3}$ và $\overrightarrow{IJ}=J-I=-\frac{\vec{s}-2\vec{b}+\vec{d}}{12}$, suy ra $\overrightarrow{IB}=4\overrightarrow{IJ}$. Vậy $B,J,I$ thẳng hàng và $\frac{IB}{IJ}=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III câu 2: 4).