Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành. $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $SC$. $I$ là giao điểm của đường thẳng $AN$ và mặt phẳng $(SBD)$. $J$ là giao điểm của đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(SBD)$. Khi đó tỉ số $\frac{IB}{IJ}$ là

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $C(1,1,0)$, $S(0,0,h)$. Khi đó $M(\frac{1}{2},0,0)$, $N(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{h}{2})$. Mặt phẳng $(SBD)$ có phương trình $x+y+\frac{z}{h}=1$.

Đường thẳng $AN$: điểm $tN=(\frac{t}{2},\frac{t}{2},\frac{th}{2})$; thay vào phương trình mặt phẳng: $\frac{t}{2}+\frac{t}{2}+\frac{t}{2}=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $I(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{h}{3})$.

Đường thẳng $MN$: $M+s(N-M)=(\frac{1}{2},\frac{s}{2},\frac{sh}{2})$; thay vào: $\frac{1}{2}+\frac{s}{2}+\frac{s}{2}=1\Rightarrow s=\frac{1}{2}$, nên $J(\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{h}{4})$.

Tính vectơ: $\overrightarrow{IB}=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},-\frac{h}{3})$, $\overrightarrow{IJ}=(\frac{1}{6},-\frac{1}{12},-\frac{h}{12})$. Ta thấy $\overrightarrow{IB}=4\overrightarrow{IJ}$, do đó $\frac{IB}{IJ}=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 1 Phần III: 4).