Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2024\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)-m+5=0$ có nghiệm?

Mực nước cao nhất tại một cảng biển là 16 m khi thủy triều lên cao và sau 12 giờ khi thủy triều xuống thấp thì mực nước thấp nhất là 10 m. Đồ thị ở Hình 15 mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ tính từ lúc nửa đêm. Biết chiều cao của mực nước $h(\text{ m})$ theo thời gian $t(\text{ h})(0\le t\le 24)$ được cho bởi công thức $h=m+a\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ với $m,a$ là các số thực dương cho trước. Tìm thời điểm đầu tiên trong ngày khi chiều cao của mực nước là 11,5 m.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $2024\left({\cos }^{4}x-{\sin }^{4}x\right)-m+5=0$ có nghiệm?

Câu 1 (3,50 điểm):
a) Giải phương trình $\cos x(\sin x+\cos x-\sin 3x)=\sin x\sin 3x$.
b) Cho dãy số hữu hạn $u_n={\log }_{2025}\left(\frac{2025n}{2025-n}\right)$, với $n\in \{1;2;3;...;2024\}$. Hãy tính tổng tất cả các số hạng của dãy số trên.

Câu 1 (3,50 điểm):

a) Giải phương trình $\cos x(\sin x+\cos x-\sin 3x)=\sin x\sin 3x$.

b) Cho dãy số hữu hạn $u_n={\log }_{2025}\left(\frac{2025n}{2025-n}\right)$, với $n\in \{1;2;3;...;2024\}$. Hãy tính tổng tất cả các số hạng của dãy số trên.

a) Giải phương trình: $\tan x+1={\cos }^{2}x+\sin x\tan x\tan \frac{x}{2}$.

b) Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 1). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách $h$ (m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian $t$ (s) (với $t\ge 0$) bởi hệ thức $h=|d|$ với $d=3\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]$, trong đó ta quy ước $d>0$ khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và $d<0$ trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Hỏi từ lúc bắt đầu đến thời điểm 20 giây thì có bao nhiêu lần người chơi đi qua vị trí cân bằng?


Hình 1

Cho hàm số $f(x)=\sin x$ và $g(x)=\cos 2x$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau: