Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $AB=a$, $SD=\frac{a\sqrt{17}}{2}$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ theo $a$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $AB=a$, $SD=\frac{a\sqrt{17}}{2}$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ theo $a$.

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$.

Câu 2. (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song với $BC$, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A^{\prime }CD\right)$ và $(ABCD)$ bằng $45^0$.

a) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }CD\right)$.

b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $A^{\prime }C$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Câu 5. (6 điểm)
1. Trên cạnh $AD$ của hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh là $a$, lấy điểm $M$ sao cho: $AM=x,(0<x<a)$. Trên nửa đường thẳng $Az$ vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông tại điểm $A$, lấy điểm $S$ sao cho $SA=y,(y>0)$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ theo $a$ và $y$.
b) Biết rằng $x^2+y^2=a^2$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCM$.
2. Gọi $N$ là điểm bất kỳ trên cạnh $SC$ ($N$ không trùng với $S$ và $C$) của hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $AN$ và song song với đường thẳng $BD$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh biểu thức $T=\frac{SB}{SE}+\frac{SD}{SF}-\frac{SC}{SN}$ có giá trị không đổi.

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a. Chứng minh $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$.

b. Gọi $\alpha ,\beta ,\gamma$ là góc tạo bởi OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Tìm giá trị nhỏ nhất của $S=(3+{\cot }^2\alpha )(3+{\cot }^2\beta )(3+{\cot }^2\gamma )$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có mặt đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AD=a\sqrt{2}$, $AC=a\sqrt{3}$. Biết cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$. Hãy tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$?