Câu 5. (6 điểm)
1. Trên cạnh $AD$ của hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh là $a$, lấy điểm $M$ sao cho: $AM=x,(0<x<a)$. Trên nửa đường thẳng $Az$ vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông tại điểm $A$, lấy điểm $S$ sao cho $SA=y,(y>0)$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ theo $a$ và $y$.
b) Biết rằng $x^2+y^2=a^2$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCM$.
2. Gọi $N$ là điểm bất kỳ trên cạnh $SC$ ($N$ không trùng với $S$ và $C$) của hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $AN$ và song song với đường thẳng $BD$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh biểu thức $T=\frac{SB}{SE}+\frac{SD}{SF}-\frac{SC}{SN}$ có giá trị không đổi.

1a. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$
$$\Rightarrow AH\perp SB(1)$$
Mặt khác ta có:
$$BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AH(2)$$
Từ (1) và (2) $\Rightarrow AH\perp (SBC)$ hay $d(A,(SBC))=AH$.
Xét tam giác SAB vuông tại A ta có:
$$AH.SB=SA.AB\iff AH=\frac{SA.AB}{SB}=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}}$$
$$\iff AH=\frac{a.y}{\sqrt{a^2+y^2}}$$
Vậy: $d(A,(SBC))=\frac{a.y}{\sqrt{a^2+y^2}}$.


1b. Ta có:
Hình chóp $S.ABCM$ có đường cao $SA=y$ và có đáy là hình thang vuông nên diện tích đáy là
$$S=\frac{1}{2}a(a+x)$$
Thể tích khối chóp $S.ABCM$ là: $V=\frac{1}{3}y.\frac{1}{2}a(a+x)=\frac{1}{6}ya(a+x)$
Theo giả thiết: $x^2+y^2=a^2\Rightarrow y^2=a^2-x^2$ nên
$$V^2=\frac{1}{36}{a}^2\left(a^2-x^2\right)(x+a{)}^2.$$
Đặt $f(x)=V^2$ với $0<x<a$, ta có
$$f^{\prime }(x)=\frac{a^2}{36}(a+x)\left[-2x(x+a)+2(a^2-x^2)\right]=\frac{a^2(a+x)\left(-4x^2-2ax+2a^2\right)}{36}$$
$$f^{\prime }(x)=0\iff x=\frac{a}{2}$$
Bảng biến thiên:

Vậy $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{a}{2}$, khi đó thể tích của khối chóp $S.ABCM$ đạt giá trị lớn nhất: $V=\sqrt{\max f(x)}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

2.
Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $O$ là giao điểm $AN$ và $SI$.
Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $BD$ cắt $SB,SD$ lần lượt tại $E,F$.
Ta có: $\frac{SB}{SE}=\frac{SD}{SF}=\frac{SI}{SO}$
Xét $△SIC$ có cát tuyến $AON$. Theo định lí Menelaus ta có:
$\frac{AI}{AC}\cdot \frac{NC}{NS}\cdot \frac{OS}{OI}=1\Rightarrow \frac{NC}{NS}\cdot \frac{OS}{OI}=2$
$\Rightarrow \frac{NC}{NS}=2\frac{OI}{OS}\Rightarrow \frac{SC-SN}{SN}=2\frac{SI-OS}{OS}$
$\Rightarrow \frac{SC}{SN}=2\frac{SI}{OS}-1$
Vậy $T=2\frac{SI}{OS}-2\frac{SI}{OS}+1=1$

Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì giám khảo căn cứ vào thang điểm để cho câu/ý đó điểm tối đa.