Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán 12 THPT Số 1 Lê Hồng Phong Đắk Lắk 2025-2026

Câu 1. (5 điểm)
1. Cho hàm số $y=x^3-3x^2+mx+1$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị $(C_m)$ có hai điểm cực trị.
2. Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=25m$, chiều rộng $AD=20m$ được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn $MN$ ($M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $AD$). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ $A$ đến $C$ qua vạch chắn $MN$, biết khi làm đường trên miền $ABMN$ mỗi giờ làm được $15m$ và khi làm trong miền $CDNM$ mỗi giờ làm được $30m$. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ $A$ đến $C$.

Câu 2. (3 điểm)
1. Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin x-\cos x=2\sin 3x$.
2. Giải bất phương trình: ${\log }_3\frac{x^2+x+3}{2x^2+4x+5}>x^2+3x+2$.

Câu 3. (3 điểm)
1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số mà trong mỗi số lập được chữ số liền sau luôn lớn hơn chữ số liền trước.
2. Một quân vua được đặt trên một ô giữa bàn cờ vua. Mỗi bước di chuyển, quân vua được chuyển sang một ô khác chung cạnh hoặc chung đỉnh với ô đang đứng (xem hình minh họa). Bạn An di chuyển quân vua ngẫu nhiên 3 bước. Tính xác suất để sau 3 bước đi quân vua trở về ô xuất phát.

Câu 4. (3 điểm)
1. Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hàng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5\%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?
2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\{\begin{array}{l}{u}_1=11\\ u_{n+1}=10u_n+1-9n,\forall n\in N\end{array}$. Tính $\lim \frac{2026u_n}{10^n}$.

Câu 5. (6 điểm)
1. Trên cạnh $AD$ của hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh là $a$, lấy điểm $M$ sao cho: $AM=x,(0<x<a)$. Trên nửa đường thẳng $Az$ vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông tại điểm $A$, lấy điểm $S$ sao cho $SA=y,(y>0)$.
a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ theo $a$ và $y$.
b) Biết rằng $x^2+y^2=a^2$. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S.ABCM$.
2. Gọi $N$ là điểm bất kỳ trên cạnh $SC$ ($N$ không trùng với $S$ và $C$) của hình chóp $S.ABCD$, có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa đường thẳng $AN$ và song song với đường thẳng $BD$ cắt $SB$, $SD$ lần lượt tại $E$, $F$. Chứng minh biểu thức $T=\frac{SB}{SE}+\frac{SD}{SF}-\frac{SC}{SN}$ có giá trị không đổi.