Câu 4. (3 điểm)
1. Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hàng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5\%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?
2. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $\{\begin{array}{l}{u}_1=11\\ u_{n+1}=10u_n+1-9n,\forall n\in N\end{array}$. Tính $\lim \frac{2026u_n}{10^n}$.

1. Gọi $u_n$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ $n$.
Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là $5\%$ nên dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân có $u_1=180$ và công bội $q=1+5\%=1,05$.
Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là:
$u_6=u_1{q}^5=229,73$ (triệu đồng).

2. Ta có:
$u_1=11=10+1$
$u_2=10.11+1-9=102=100+2$
$u_3=10.102+1-9.2=1003=1000+3$
Dự đoán: $u_n=10^n+n$ (1).
Chứng minh:
Ta có: $u_1=11=10^1+1\Rightarrow$ công thức (1) đúng với $n=1$.
Giả sử công thức (1) đúng với $n=k$ ta có: $\Rightarrow u_k=10^k+k$.
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với $n=k+1$ tức là: $u_{k+1}=10^{k+1}+(k+1)$.
Mặt khác ta lại có: $u_{k+1}=10(10^k+k)+1-9k=10^{k+1}+(k+1)$.
$\Rightarrow$ Công thức (1) đúng với $n=k+1$.
$\Rightarrow u_n=10^n+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Vậy: $\lim \frac{2026u_n}{10^n}=\lim \frac{2026(10^n+n)}{10^n}=2026$.