Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là một điểm thuộc đoạn $SA$ sao cho $2MA=SM$, điểm $N$ là điểm thuộc tia đối của tia $OS$ sao cho $3ON=SO$, $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Gọi $K=SD\cap (GMN)$. Tính tỉ số $\frac{SK}{KD}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $\overrightarrow{AO}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$.

- $2MA=SM$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{s}$.
- $N$ thuộc tia đối của tia $OS$ với $3ON=SO$ nên $\overrightarrow{ON}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{OS}$, do đó $\overrightarrow{AN}=\frac{2(\vec{b}+\vec{d})-\vec{s}}{3}$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{\vec{s}+\vec{b}+2\vec{d}}{3}$.

Vì $K\in SD$, đặt $\overrightarrow{AK}=(1-t)\vec{s}+t\vec{d}$, khi đó $\frac{SK}{KD}=\frac{t}{1-t}$.

Vì $K\in (GMN)$ nên tồn tại $\alpha ,\beta ,\gamma$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$ sao cho $\overrightarrow{AK}=\alpha \overrightarrow{AG}+\beta \overrightarrow{AM}+\gamma \overrightarrow{AN}$. So sánh hệ số:
- Theo $\vec{b}$: $\alpha +2\gamma =0$.
- Theo $\vec{d}$: $2\alpha +2\gamma =3t$.
- Theo $\vec{s}$: $\alpha +\beta -\gamma =3(1-t)$.

Cộng ba phương trình sau khi dùng $\alpha +\beta +\gamma =1$: từ phương trình đầu $\alpha =-2\gamma$, suy ra $\beta =1+2\gamma$ và $-2\gamma =3t$ tức $t=-\frac{2\gamma }{3}$. Thay vào phương trình theo $\vec{s}$: $1-\gamma =3(1-t)=3+2\gamma$, suy ra $\gamma =-\frac{1}{2}$, do đó $t=\frac{1}{3}$.

Vậy $\frac{SK}{KD}=\frac{t}{1-t}=\frac{1/3}{2/3}=\frac{1}{2}=0,5$.