Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ trên $[-2\pi ;5\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\iff 2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.

Với $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi \in [-2\pi ;5\pi ]$: $-2\le k-\frac{1}{12}\le 5\Rightarrow -\frac{23}{12}\le k\le \frac{61}{12}$, nên $k\in \{-1,0,1,2,3,4,5\}$: 7 nghiệm.

Với $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \in [-2\pi ;5\pi ]$: $-2\le k+\frac{1}{4}\le 5\Rightarrow -\frac{9}{4}\le k\le \frac{19}{4}$, nên $k\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$: 8 nghiệm.

Hai họ nghiệm không trùng nhau (một họ là các số $\equiv -\pi /12$, họ kia $\equiv \pi /4$ theo mod $\pi$). Vậy tổng số nghiệm là $7+8=15$.