Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm của $SC$. Gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng $AM$ với mặt phẳng $(SBD)$. Tính tỷ số $\frac{IA}{IM}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành), khi đó $O\in (SBD)$. Trong tam giác $SAC$: $M$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$ nên $OM\parallel SA$. Xét mặt phẳng $(SAC)$: giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song với $SA$ (vì $SA\parallel OM\subset (SBD)$... chính xác hơn, giao tuyến là $OI$ với $I\in AM$). Vì $OM\parallel SA$, đường thẳng qua $O$ song song $SA$ cắt $AM$ tại $I$ là trung điểm của $AM$... Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A=(0,0,0),B=(1,0,0),D=(0,1,0),C=(1,1,0),S=(0,0,3)$, $M=(0,5;0,5;1,5)$. Mặt phẳng $(SBD)$: $3x+3y+z=3$. Điểm trên $AM$: $(0,5t;0,5t;1,5t)$, thay vào: $4,5t=3\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $I$ chia $AM$ với $\frac{IA}{IM}=\frac{2/3}{1-2/3}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1, Phần III: $2$).