Câu 13Học KỳChuyên đề: Giao tuyến hai mặt phẳng hình học thuần túy • Lớp 11Chứng minh hai đường song songDựng đường song song mặt và xác định giao tuyếnVận dụng#secondary:M11.G02.PARALLEL_LINES.L3.PROOF#secondary:M11.G03.LINE_PLANE_PARALLEL.L3.CONSTRUCTION
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm .
Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . Gọi là trung điểm .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Đoạn thẳng song song với .
b)
Mặt phẳng cắt tại là trung điểm .
c)
Giao tuyến của và là đường thẳng qua và giao điểm của .
d)
Đường thẳng cắt mặt phẳng tại trung điểm của .
Đáp án chính thức: a:Đ,b:Đ,c:Đ,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
a) Theo ý b), N là trung điểm SB. Trong tam giác SAB, M trung điểm SA, N trung điểm SB nên MN là đường trung bình, do đó MN ∥ AB. Đúng.
b) CD ∥ AB (đáy là hình bình hành). Mặt phẳng (MCD) chứa CD nên chứa phương AB; giao tuyến của (MCD) với mặt phẳng (SAB) là đường thẳng qua M song song AB (vì M∈(MCD)∩(SAB)). Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng qua trung điểm M của SA song song AB cắt SB tại trung điểm N của SB. Đúng.
c) O = AC ∩ BD. Vì M ∈ SA nên (SMC) = (SAC), chứa O; (SBD) chứa S, O. Hai mặt phẳng có chung S và O nên giao tuyến là đường thẳng SO, tức đường thẳng qua S và I = O. Đúng.
d) Tọa hóa: S=0, A=a, B=b, D=d, C=b+d−a, N=b/2. Điểm trên DN: d + t(b/2 − d). Điều kiện thuộc (SAC): d + t(b/2−d) = (α−β)a + βb + βd cho β = t/2 và β = 1−t, suy ra t = 2/3. Khi đó điểm J = (b+d)/3 = (2/3)O, tức SJ = (2/3)SO, không phải trung điểm SO. Ngoài ra có thể lập luận: trong tam giác SBD, NO là đường trung bình nên NO ∥ SD, DO/DB = 1/2; đường DN cắt SO tại điểm J với SJ/SO = 2/3 (theo định lý Menelaus hoặc hình bình hành SJND... kiểm tra: J thỏa SJ = 2/3 SO). Vậy J không phải trung điểm SO. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
N là trung điểm SB (theo ý b), M trung điểm SA nên MN là đường trung bình tam giác SAB, suy ra MN ∥ AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB nên giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường qua M song song AB, cắt SB tại trung điểm N của SB.
c) (AI giải đề cho tôi)
(SMC) = (SAC) chứa O = AC ∩ BD; (SBD) cũng chứa O và S, nên giao tuyến là đường thẳng SO qua S và I = O.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SBD, N trung điểm SB, O trung điểm BD. Đường DN cắt SO tại J với SJ/SO = 2/3 (tọa hóa: J = (b+d)/3 = (2/3)O), không phải trung điểm SO.
a) Theo ý b), N là trung điểm SB. Trong tam giác SAB, M trung điểm SA, N trung điểm SB nên MN là đường trung bình, do đó MN ∥ AB. Đúng.
b) CD ∥ AB (đáy là hình bình hành). Mặt phẳng (MCD) chứa CD nên chứa phương AB; giao tuyến của (MCD) với mặt phẳng (SAB) là đường thẳng qua M song song AB (vì M∈(MCD)∩(SAB)). Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng qua trung điểm M của SA song song AB cắt SB tại trung điểm N của SB. Đúng.
c) O = AC ∩ BD. Vì M ∈ SA nên (SMC) = (SAC), chứa O; (SBD) chứa S, O. Hai mặt phẳng có chung S và O nên giao tuyến là đường thẳng SO, tức đường thẳng qua S và I = O. Đúng.
d) Tọa hóa: S=0, A=a, B=b, D=d, C=b+d−a, N=b/2. Điểm trên DN: d + t(b/2 − d). Điều kiện thuộc (SAC): d + t(b/2−d) = (α−β)a + βb + βd cho β = t/2 và β = 1−t, suy ra t = 2/3. Khi đó điểm J = (b+d)/3 = (2/3)O, tức SJ = (2/3)SO, không phải trung điểm SO. Ngoài ra có thể lập luận: trong tam giác SBD, NO là đường trung bình nên NO ∥ SD, DO/DB = 1/2; đường DN cắt SO tại điểm J với SJ/SO = 2/3 (theo định lý Menelaus hoặc hình bình hành SJND... kiểm tra: J thỏa SJ = 2/3 SO). Vậy J không phải trung điểm SO. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
N là trung điểm SB (theo ý b), M trung điểm SA nên MN là đường trung bình tam giác SAB, suy ra MN ∥ AB.
b) (AI giải đề cho tôi)
CD ∥ AB nên giao tuyến của (MCD) và (SAB) là đường qua M song song AB, cắt SB tại trung điểm N của SB.
c) (AI giải đề cho tôi)
(SMC) = (SAC) chứa O = AC ∩ BD; (SBD) cũng chứa O và S, nên giao tuyến là đường thẳng SO qua S và I = O.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SBD, N trung điểm SB, O trung điểm BD. Đường DN cắt SO tại J với SJ/SO = 2/3 (tọa hóa: J = (b+d)/3 = (2/3)O), không phải trung điểm SO.