Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$.

b) Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $SA,SB,SC,SD$ tại $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$. Biết $\frac{SA}{S{A}^{\prime }}=2,\frac{SB}{S{B}^{\prime }}=3,\frac{SC}{S{C}^{\prime }}=4$. Tính tỉ số $\frac{SD}{S{D}^{\prime }}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ cùng chứa điểm $S$; $AB$ nằm trong $(SAB)$, $CD$ nằm trong $(SCD)$ và $AB\parallel CD$. Do đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ và song song với $AB$ (cũng song song với $CD$). Vậy $(SAB)\cap (SCD)=d$, với $d$ qua $S$, $d\parallel AB\parallel CD$.

b) Đặt $S$ là gốc, các vectơ $\overrightarrow{SA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành, trung điểm hai đường chéo trùng nhau nên $\overrightarrow{SD}=\vec{a}+\vec{c}-\vec{b}$.

Từ các tỉ số: $\overrightarrow{S{A}^{\prime }}=\frac{1}{2}\vec{a}$, $\overrightarrow{S{B}^{\prime }}=\frac{1}{3}\vec{b}$, $\overrightarrow{S{C}^{\prime }}=\frac{1}{4}\vec{c}$. Gọi $t=\frac{S{D}^{\prime }}{SD}$, thì $\overrightarrow{S{D}^{\prime }}=t(\vec{a}+\vec{c}-\vec{b})$.

Vì $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ đồng phẳng (thuộc $(\alpha )$), $D^{\prime }$ phải biểu diễn được qua $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ với tổng hệ số bằng 1: $\overrightarrow{S{D}^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{S{A}^{\prime }}+\beta \overrightarrow{S{B}^{\prime }}+\gamma \overrightarrow{S{C}^{\prime }}$, $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số theo $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$: $\frac{\alpha }{2}=t\Rightarrow \alpha =2t$; $\frac{\beta }{3}=-t\Rightarrow \beta =-3t$; $\frac{\gamma }{4}=t\Rightarrow \gamma =4t$. Suy ra $2t-3t+4t=1\Rightarrow 3t=1\Rightarrow t=\frac{1}{3}$.

Vậy $\frac{SD}{S{D}^{\prime }}=\frac{1}{t}=3$.