Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Biết góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$.
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

a)



+ Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy $(ABCD)$. Do đó, giao tuyến của chúng là $SA\perp (ABCD)$. Vậy $SA$ là đường cao của hình chóp (0,5đ)
+ Đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, có $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Suy ra $ABC$ là tam giác đều, nên $S_{ABCD}=2\cdot S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

(0,25đ) Gọi $H$ là trung điểm của $AC$. Vì $M$ là trung điểm của $SC$ và $SA\perp (ABCD)$ $\Rightarrow MH\parallel SA$, do đó $MH\perp (ABCD)$
Hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $H$, nên hình chiếu của đường thẳng $BM$ lên đáy là $BH$
Góc giữa $BM$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{MBH}=45^{\circ }$. Do đó, $MBH$ là tam giác vuông cân tại $H$, nên $MH=BH$

(0,25đ) Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, đường trung tuyến $BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
Nên $MH=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Do $MH$ là đường trung bình của tam giác $SAC$ nên $SA=2\cdot MH=a\sqrt{3}$
Thể tích khối chóp: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot SA\cdot S_{ABCD}=\frac{a^3}{2}$

b)
(0,25đ) Ta có $AB\parallel CD\Rightarrow AB\parallel (SCD)$, do đó $d(AB,SD)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD))$
Kẻ $AK\perp CD$ tại $K$. Vì $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{ABC}=60^{\circ }\Rightarrow \widehat{ADC}=60^{\circ }$
Tam giác $ADC$ đều cạnh $a$, nên $K$ chính là trung điểm của $CD$ và $AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

(0,25đ) Ta có $CD\perp AK$ và $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAK)$
Kẻ $AI\perp SK$ tại $I$ ($I$ thuộc $SK$). Vì $CD\perp (SAK)$ nên $CD\perp AI$, vậy suy ra rằng $AI\perp (SCD)$
Vậy $d(A,(SCD))=AI$
Ta có hệ thức lượng trong tam giác $SAK$ vuông tại $A$, đường cao $AI$:
$\frac{1}{A{I}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{K}^2}\iff AI=\frac{a\sqrt{15}}{5}$ (Kết luận)