Ta có ba số $a$, $b$, $c$ lần lượt lập thành một cấp số cộng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm. Mặt khác, ba số đó cũng lập thành một cấp số nhân với $a$ là số hạng thứ nhất, $b$ là số hạng thứ năm và $c$ là số hạng thứ bảy. Tính giá trị của biểu thức $T=2a+b+c$

Ta có a, b, c là cấp số cộng nên $a=u_1$, $b=u_1+2d$ và $c=u_1+4d$. Từ đó suy ra $2b=a+c$ (*). Mặt khác a, b, c là cấp số nhân nên $a=v_1$, $b=a.q^4$, $c=a.q^6$. Thay vào (*) ta được: $2(aq{)}^4=a+a{q}^6$

Trường hợp 1: Nếu $a=0\iff a=b=c=0\iff T=0$. Trường hợp 2: Nếu $a\ne 0\iff q^6-2q^4+1=0\iff (q^2-1)(q^4-q^2+1)=0$. i) $q^2=1\iff q=\pm 1\iff a=b=c$, nên $T=4a$. ii) $q^4-q^2+1=0$. Đặt $q^2=x$ $(x\ge 0)\iff x^2-x+1=0$ $$\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(loại)\end{array}$$

+ Với $q^2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\iff T=a.\left(\frac{11+3\sqrt{5}}{2}\right)$. Với $T=4a$ và $T=a.\left(\frac{11+3\sqrt{5}}{2}\right)$ thì biểu thức bị phụ thuộc vào $a$ và $a$ chạy vô hạn và giá trị $T$ thay đổi liên tục. Mặt khác ta có định lí rằng nếu $a,b,c$ cùng lập thành cấp số cộng và cấp số nhân thì $a=b=c$. Hơn nữa, $a,b,c$ là các số hàng có thứ tự nên trường hợp 1 thỏa mãn là $a=b=c=0$. Vậy giá trị $T=0$