Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thoả mãn $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge 2$ , luôn tồn tại số thực $m\in \left[0;1-\frac{1}{n}\right]$ sao cho:

$$f\left(m+\frac{1}{n}\right)=f(m)$$

Xét hàm số $g(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)$ xác định và liên tục trên $\left[0;1-\frac{1}{n}\right]$. Xét tổng sau: $$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)$$ Suy ra $S=f(1)-f(0)=0$

Giả sử rằng $g(x)\ne 0$ với mọi $x\in \left[0;1-\frac{1}{n}\right]$

Do $g(x)$ liên tục nên chỉ có thể luôn dương hoặc âm trên đoạn xác định

+ Nếu $g(x)>0$ thì:

$$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)>0$$

Mâu thuẫn vì $S=0$

+ Nếu $g(x)<0$ thì:

$$\sum _{k=0}^{n-1}g\left(\frac{k}{n}\right)<0$$

Mâu thuẫn vì $S=0$

Vì vậy luôn tồn tại ít nhất một điểm $m\in \left[0;1-\frac{1}{n}\right]$ sao cho $g(m)=0$

$\iff f\left(m+\frac{1}{n}\right)=f(m)$ (điều phải chứng minh)