Đề Thi Olympic Toán Học Vòng Loại 1 THPT THCS & THPT Bình Chánh An Giang - Đề Số 1

Giải phương trình sau: $\sin x+\cos x+\sin 2x+1=2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos x$

Cho công thức truy hồi của dãy số cấp số cộng $(u_n)$: $\{\begin{array}{l}{u}_{11}+u_{12}=23\\ u_{27}-u_{23}=4\end{array}$

Tìm số hạng đầu tiên và số hạng tổng quát của dãy số.

Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_{n+1}=u_n^2+u_n$ , với $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Đặt $S_n=\frac{1}{u_1+1}+\frac{1}{u_2+1}+\frac{1}{u_3+1}+\dots +\frac{1}{u_n+1}$ . Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Biết góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng đáy $(ABCD)$ bằng $45^{\circ }$.
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Ta có ba số $a$, $b$, $c$ lần lượt lập thành một cấp số cộng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm. Mặt khác, ba số đó cũng lập thành một cấp số nhân với $a$ là số hạng thứ nhất, $b$ là số hạng thứ năm và $c$ là số hạng thứ bảy. Tính giá trị của biểu thức $T=2a+b+c$

Cho hàm số $f(x)=\frac{{\sin }^{2020n}x+2020}{\cos x}$ , $n\in \mathbb{Z}$ . Chứng minh rằng $f(x)$ là một hàm số chẵn.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thoả mãn $f(0)=f(1)$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n\ge 2$ , luôn tồn tại số thực $m\in \left[0;1-\frac{1}{n}\right]$ sao cho:

$$f\left(m+\frac{1}{n}\right)=f(m)$$