Cho dãy số $(u_n)$ thoả mãn $u_1=\frac{1}{2}$ và $u_{n+1}=u_n^2+u_n$ , với $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Đặt $S_n=\frac{1}{u_1+1}+\frac{1}{u_2+1}+\frac{1}{u_3+1}+\dots +\frac{1}{u_n+1}$ . Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n$

Ta có $u_{n+1}=u_n^2+u_n$ $\iff$ $u_{n+1}=u_n(u_n+1)$ $\iff$ $\frac{1}{u_n+1}=\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}$

Vậy ta có $S_n=\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_2}-\frac{1}{u_3}+\dots +\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{n+1}}=2-\frac{1}{u_{n+1}}$

Do $u_1=\frac{1}{2}>0$ và $u_{n+1}=u_n^2+u_n>u_n$, nên $u_n>0$ và dãy số $(u_n)$ là một dãy số tăng nghiêm ngặt.

+ Giả sử $(u_n)$ bị chặn trên, suy ra $L=L^2+L$ $\iff$ $L=0$ (vô lí)

Nên ${\lim }_{n\to +\infty }{u}_{n+1}=+\infty$ $\iff$ ${\lim }_{n\to +\infty }{S}_n=2$