Cho hàm số $f(x)=\frac{{\sin }^{2020n}x+2020}{\cos x}$ , $n\in \mathbb{Z}$ . Chứng minh rằng $f(x)$ là một hàm số chẵn.

Ta có tập xác định là $\cos x\ne 0\iff x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Ta có với mọi $x\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ và $f(x)$ là hàm số chẵn khi và chỉ khi: $$\{\begin{array}{l}f(-x)=f(x)\\ \forall x,(-x)\in \mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}\end{array}$$ Xét f(-x) $=\frac{{\sin }^{2020n}(-x)+2020}{\cos (-x)}$. Ta luôn có: $\sin (-x)=-\sin x$; Do $2020n$ luôn là số chẵn với mọi số nguyên $n$, nên ${\sin }^{2020n}(-x)={\sin }^{2020n}x$ và $\cos (-x)=\cos x\iff f(-x)=\frac{{\sin }^{2020n}x+2020}{\cos x}$. Vậy $f(-x)=f(x)$. Suy ra hàm số là một hàm số chẵn