Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ và $E$ là điểm trên cạnh $DC$ sao cho $DC=3DE$, $I$ là trung điểm $AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(b;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(b;a;0)$, $S(s_1;s_2;h)$ với $a,b,h>0$. Khi đó $I\left(0;\frac{a}{2};0\right)$, $O\left(\frac{b}{2};\frac{a}{2};0\right)$, $E\left(\frac{b}{3};a;0\right)$ (vì $DE=\frac{1}{3}DC$), $G=\frac{S+A+D}{3}=\left(\frac{s_1}{3};\frac{s_2+a}{3};\frac{h}{3}\right)$.

a) Đúng. $\overrightarrow{OI}=\left(-\frac{b}{2};0;0\right)\parallel \overrightarrow{AB}=(b;0;0)$. Vì $OI\not\subset (SAB)$ và $OI\parallel AB\subset (SAB)$ nên $OI\parallel (SAB)$.

b) Đúng. $G$ nằm trên trung tuyến $SI$ của tam giác $SAD$ nên $S\in (IOG)$. Ta có $\overrightarrow{IO}\parallel \overrightarrow{AB}$, nên đường thẳng $d$ qua $S$ song song $AB$ nằm trong $(IOG)$. Mặt khác $AB\parallel DC\subset (SCD)$ nên $d\parallel (SCD)$, mà $S\in (SCD)$, suy ra $d\subset (SCD)$. Vậy giao tuyến của $(IOG)$ và $(SCD)$ là $d$ qua $S$ và $d\parallel AB$.

c) Đúng. $IE$ nằm trong mặt phẳng đáy; $SB$ cắt đáy tại $B$. Đường thẳng $IE$: $\left(0;\frac{a}{2}\right)+t\left(\frac{b}{3};\frac{a}{2}\right)$; với $x=b$ ($t=3$) ta được điểm $(b;2a)\ne B(b;0)$, tức $B\notin IE$. Vậy $IE$ và $SB$ không cắt nhau và không cùng mặt phẳng, nên chéo nhau.

d) Đúng. Mặt phẳng $(SBC)$ chứa $\overrightarrow{BC}=(0;a;0)$ và $\overrightarrow{SB}=(b-s_1;-s_2;-h)$ nên có phương trình $h(x-b)+(b-s_1)z=0$ (không phụ thuộc $y$). Xét $f(P)=h(x_P-b)+(b-s_1)z_P$: $f(G)=h\left(\frac{s_1}{3}-b\right)+(b-s_1)\cdot \frac{h}{3}=-\frac{2hb}{3}$; $f(E)=h\left(\frac{b}{3}-b\right)+0=-\frac{2hb}{3}$. Vì $f$ nhận cùng giá trị $-\frac{2hb}{3}\ne 0$ trên toàn đường thẳng $GE$, đường thẳng $GE$ không cắt và không nằm trong $(SBC)$. Vậy $GE\parallel (SBC)$.

Kết luận: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{OI}=\left(-\frac{b}{2};0;0\right)\parallel \overrightarrow{AB}$, mà $OI\not\subset (SAB)$ nên $OI\parallel (SAB)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G\in SI$ nên $S\in (IOG)$; $(IOG)$ chứa phương $AB$; đường thẳng qua $S$ song song $AB$ nằm trong cả $(IOG)$ lẫn $(SCD)$ (vì $AB\parallel DC$). Vậy giao tuyến là $d$ qua $S$, $d\parallel AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $IE$ nằm trong đáy, $SB$ cắt đáy tại $B$ và $B\notin IE$ (đường thẳng $IE$ đi qua $(b;2a)$ khi $x=b$), nên $IE$ và $SB$ chéo nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $(SBC)$ có phương trình $h(x-b)+(b-s_1)z=0$. Với $f(P)=h(x_P-b)+(b-s_1)z_P$ ta có $f(G)=f(E)=-\frac{2hb}{3}\ne 0$, không đổi trên đường thẳng $GE$, nên $GE$ không cắt và không nằm trong $(SBC)$. Vậy $GE\parallel (SBC)$.