Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$, $N$ thuộc cạnh $AB$ thỏa mãn $3NA=AB$. Chứng minh rằng $NG\parallel (SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh bằng vecto. Vì $3NA=AB$ nên $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, suy ra $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{NB}$.

$G$ là trọng tâm tam giác $SAD$ nên:
$$\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{NS}+\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{ND}\right).$$

Ta có:
- $\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BS}$;
- $\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$);
- $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$.

Do đó:
$$\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BS}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{BS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{NB}-\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}.$$

Thay $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{2}\overrightarrow{NB}$ thì $\frac{1}{3}\overrightarrow{NB}-\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{NB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{NB}=\vec{0}$. Vậy:
$$\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{BC}\right).$$

Gọi $M$ là trung điểm của $SC$ thì $\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BM}$, suy ra $\overrightarrow{NG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$, tức $NG\parallel BM$.

Vì $BM\subset (SBC)$ và $N\notin (SBC)$ (do $N$ thuộc mặt đáy), nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $NG\parallel (SBC)$. $■$