Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Biết rằng: cạnh $AB=a$, $AD=2a$, cạnh bên $SA=2a$ và vuông góc với mặt đáy. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB$, $SD$. Khi đó

a) Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt bên là hình thoi cạnh $2\sqrt{6}$, các góc $\widehat{BA{A}^{\prime }}=\widehat{BAD}=\widehat{DA{A}^{\prime }}=60^{\circ }$. Tính độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }$.
b) Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Một đường thẳng $\Delta$ cắt các đường thẳng $A{A}^{\prime },BC,C^{\prime }{D}^{\prime }$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho $\overrightarrow{NM}=2\overrightarrow{NP}$. Tính $\frac{\overline{MA}}{\overline{M{A}^{\prime }}}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$, $M$ là trung điểm cạnh $C{C}^{\prime }$. Tính $\cos \left(\overrightarrow{A{A}^{\prime }},\overrightarrow{BM}\right)$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{BC}$.

a) Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{MN}$

b) Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm $A,B,C$ trên đèn tròn sao cho tam giác $ABC$ đều. Độ dài của ba đoạn dây $OA,OB,OC$ đều bằng $L$. Trọng lượng của chiếc đèn là $27N$ và bán kính của chiếc đèn là $0,5m$.



Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $12N$. (Chiều dài tính theo đơn vị cm và làm tròn đến 1 số sau phần thập phân).

Cho hình lăng trụ tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }C}$.

a) Cho tứ diện đều $ABCD$, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tính cosin góc tạo bởi hai véc tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DM}$.

b) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$, $M$ là điểm thay đổi trên $SO$. Tỉ số $\frac{SM}{SO}$ sao cho $P=M{S}^2+M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2+M{D}^2$ nhỏ nhất là bao nhiêu?