Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau

Đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f^2(x)-1}$ có bao nhiêu tiệm cận đứng?

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ hàm số đồng biến từ $\frac{3}{2}$ đến $+\infty$; trên $(-\frac{1}{2};+\infty )$ đồng biến từ $-\infty$ đến $\frac{3}{2}$; tại $x=-\frac{1}{2}$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng của $f$).

Tiệm cận đứng của $y=\frac{1}{f^2(x)-1}$ xảy ra khi $f^2(x)-1=0$, tức $f(x)=\pm 1$.
- $f(x)=1$: nhánh trái có giá trị từ $\frac{3}{2}$ đến $+\infty$ nên không có nghiệm; nhánh phải đi từ $-\infty$ đến $\frac{3}{2}$ nên có đúng 1 nghiệm (vì $1\in (-\infty ;\frac{3}{2})$).
- $f(x)=-1$: nhánh trái không có nghiệm; nhánh phải có đúng 1 nghiệm (vì $-1\in (-\infty ;\frac{3}{2})$).

Tại $x=-\frac{1}{2}$: khi $x\to -{\frac{1}{2}}^{\pm }$ thì $f(x)\to \pm \infty$ nên $f^2(x)-1\to +\infty$ và $\frac{1}{f^2(x)-1}\to 0$, không phải tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị có 2 tiệm cận đứng.