Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Gọi $K$ là điểm thuộc cạnh $SB$ sao cho $SB=3SK$; $I$ là giao điểm của đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ADK)$. Tính tỉ số $\frac{IS}{IO}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ với $O$ là gốc: $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(-1,0,0)$, $D(0,-1,0)$, $S(0,0,h)$ với $h=SO>0$.

Vì $SB=3SK$ nên $K$ chia đoạn $SB$ với $SK=\frac{1}{3}SB$: $K=S+\frac{1}{3}(B-S)=\left(0,\frac{1}{3},\frac{2h}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(ADK)$ đi qua $A(1,0,0)$, $D(0,-1,0)$ nên có dạng $x-y+\alpha z=1$. Thay $K$: $0-\frac{1}{3}+\alpha \cdot \frac{2h}{3}=1\Rightarrow \alpha =\frac{2}{h}$. Vậy $(ADK)$: $x-y+\frac{2}{h}z=1$.

Đường thẳng $SO$ là trục $z$ ($x=y=0$). Giao điểm $I$: $\frac{2}{h}z=1\Rightarrow z=\frac{h}{2}$, tức $I$ là trung điểm $SO$.

Suy ra $IS=IO=\frac{h}{2}$, do đó $\frac{IS}{IO}=1$.