Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, $I$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là điểm trên cạnh $AD$ sao cho $AM=\frac{1}{3}AD$. Đường thẳng đi qua $M$ và song song với $AB$ cắt $CI$ tại $N$. Chứng minh rằng $MG//(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, $I$ là trung điểm $AB$, $M\in AD$ với $AM=\frac{1}{3}AD$. Đường thẳng qua $M$ song song $AB$ cắt $CI$ tại $N$. Cần chứng minh $MG\parallel (SCD)$.

Chọn hệ vectơ với gốc $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{d}$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{b}$, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\vec{d}$.

Bước 1: Xác định vị trí điểm $N$ trên $CI$.
Vì $N$ nằm trên đường thẳng qua $M$ song song với $AB$ nên $\overrightarrow{MN}=t\vec{b}$ với một số $t$, tức $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\vec{d}+t\vec{b}$. Mặt khác $N\in CI$ nên $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+u\overrightarrow{CI}=(\vec{b}+\vec{d})+u\left(-\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{d}\right)$. So sánh hệ số theo $\vec{d}$: $\frac{1}{3}=1-u\Rightarrow u=\frac{2}{3}$. Vậy $\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CI}$, suy ra $\overrightarrow{IN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IC}$, tức $IN=\frac{1}{3}IC$.

Bước 2: Chứng minh $GN\parallel SC$.
Vì $I$ là trung điểm $AB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên $S,G,I$ thẳng hàng và $\overrightarrow{IG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{IS}$ (tính chất đường trung bình: trọng tâm cách đều mỗi đỉnh một phần ba đường trung tuyến). Xét tam giác $SCI$: $G\in SI$ với $\frac{IG}{IS}=\frac{1}{3}$ và $N\in IC$ với $\frac{IN}{IC}=\frac{1}{3}$. Theo định lý Thales, $GN\parallel SC$.

Bước 3: Chứng minh $(MGN)\parallel (SCD)$.
- $MN\parallel AB$ (theo giả thiết) mà $AB\parallel CD$ (đáy là hình bình hành) nên $MN\parallel CD$. Vì $CD\subset (SCD)$ và $MN\not\subset (SCD)$ (do $M\notin (SCD)$) nên $MN\parallel (SCD)$.
- $GN\parallel SC$ (Bước 2), $SC\subset (SCD)$ và $GN\not\subset (SCD)$ (do $G\notin (SCD)$ vì $G$ nằm trên mặt phẳng $(SAB)$ khác $(SCD)$) nên $GN\parallel (SCD)$.
Hai đường thẳng $MN$ và $GN$ cắt nhau tại $N$ và cùng song song với $(SCD)$, do đó mặt phẳng $(MGN)\parallel (SCD)$.

Bước 4: Kết luận.
Vì $(MGN)\parallel (SCD)$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(MGN)$ đều song song hoặc nằm trong $(SCD)$. Đường thẳng $MG$ nằm trong $(MGN)$ và $MG$ không nằm trong $(SCD)$ (vì $M\notin (SCD)$). Vậy $MG\parallel (SCD)$. $■$

Kiểm tra bằng vectơ: $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}=\frac{\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}}{3}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AD})+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{DC}$, tức $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp tuyến tính của hai vectơ chỉ phương $\overrightarrow{DS},\overrightarrow{DC}$ của mặt phẳng $(SCD)$, xác nhận $MG\parallel (SCD)$.