Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn là $AD$ thỏa $AD=2BC$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Chứng minh rằng $CM//(SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm của $SC$. Trong tam giác $SCD$, $M$ là trung điểm $SD$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$ và $MN=\frac{CD}{2}$. Vì $ABCD$ là hình thang với $AD=2BC$ nên $BC=\frac{AD}{2}=\frac{CD}{2}$ (chú ý: hai cạnh song song của hình thang là $AD\parallel BC$, do đó xét theo phương song song ta có $MN\parallel BC$ và $MN=BC$). Thật vậy, vì $MN\parallel CD$ mà $CD$ không song song $AB$... Xét chính xác: hình thap $ABCD$ có $AD\parallel BC$, $AD=2BC$. Gọi $I$ là trung điểm $AD$ thì $AI=BC$ và $AI\parallel BC$, nên $ABCI$ là hình bình hành, suy ra $CI\parallel AB$ và $CI=AB$. Xét tam giác $SCD$: $M$ trung điểm $SD$, gọi $N$ trung điểm $SC$ thì $MN\parallel CD$, $MN=\frac{CD}{2}$. Vì $BC=\frac{AD}{2}$ và $AD\parallel BC$, lấy $I$ trung điểm $AD$ thì $IBCD$... Cách chuẩn: $I$ là trung điểm $AD$ thì $AI=\frac{AD}{2}=BC$ và $AI\parallel BC$ nên $ABCI$ là hình bình hành $\Rightarrow CI\parallel AB$. Xét tam giác $SAD$: $M$ trung điểm $SD$, $I$ trung điểm $AD$ nên $MI\parallel SA$ $\Rightarrow MI\parallel (SAB)$. Xét tứ giác $MIBC$: $MI\parallel SA$... Ta chứng minh trực tiếp: trong tam giác $SAD$, $MI$ là đường trung bình nên $MI\parallel SA$, do đó $MI\parallel (SAB)$. Xét tam giác $SBC$... Cách gọn nhất: $I$ trung điểm $AD$ $\Rightarrow$ $ABCI$ là hình bình hành $\Rightarrow CI\parallel AB\Rightarrow CI\parallel (SAB)$. Mặt khác $MI\parallel SA\Rightarrow MI\parallel (SAB)$. Mặt phẳng $(MIC)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MI,CI$ cùng song song $(SAB)$, nên $(MIC)\parallel (SAB)$. Vì $CM\subset (MIC)$ nên $CM\parallel (SAB)$. Đpcm.