Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn là $AD$ thỏa mãn $AD=2BC$. Gọi $O$ là giao điểm $AC$ và $BD$, $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Chứng minh rằng $OG//(SBC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $K$ là trung điểm của $SC$.

Bước 1: Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$ nên $G$ nằm trên đường trung tuyến $DK$ của tam giác này, suy ra $\frac{DG}{DK}=\frac{2}{3}$.

Bước 2: Vì $ABCD$ là hình thang với $AD\parallel BC$ và $AD=2BC$, xét $O=AC\cap BD$: tam giác $OBC$ đồng dạng với tam giác $OAD$ (góc $OBC=$ góc $ODA$, góc $OCB=$ góc $OAD$ do $BC\parallel AD$), nên
$$\frac{OB}{OD}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{OD}{BD}=\frac{2}{3}.$$

Bước 3: Xét tam giác $DBK$: điểm $O$ nằm trên cạnh $DB$ với $\frac{DO}{DB}=\frac{2}{3}$, điểm $G$ nằm trên cạnh $DK$ với $\frac{DG}{DK}=\frac{2}{3}$. Suy ra $\frac{DO}{DB}=\frac{DG}{DK}$, theo định lý Thales (đảo) ta có $OG\parallel BK$.

Bước 4: Vì $BK\subset (SBC)$ (do $K\in SC$) và $OG\not\subset (SBC)$ (vì $O$ nằm trong mặt phẳng đáy, mà $(SBC)\cap (ABCD)=BC$ và $O\notin BC$), nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng:
$$OG\parallel (SBC).$$
Điều phải chứng minh.