Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{x-3}$ có $y^{\prime }=\frac{(x-3)-(x+1)}{(x-3{)}^2}=\frac{-4}{(x-3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 3$. a) Sai: vì $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;3)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. b) Đúng: ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$ nên tiệm cận ngang là $y=1$. c) Sai: trên $[4;7]$ hàm nghịch biến nên GTLN $=y(4)=\frac{5}{1}=5$, GTNN $=y(7)=\frac{8}{4}=2$, tỉ số $=\frac{5}{2}\ne \frac{5}{4}$. d) Đúng: phương trình $\frac{x+1}{x-3}=x-m\iff x+1=(x-m)(x-3)\iff x^2-(m+4)x+(3m-1)=0$ có $\Delta =(m+4{)}^2-4(3m-1)=m^2-4m+20=(m-2{)}^2+16>0$ với mọi $m$. Kiểm tra $x=3$ không phải nghiệm (thay vào được $-4=0$, vô lý), nên đường thẳng luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt với mọi $m\in \mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-4}{(x-3{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;3)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+1}{x-3}=1$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[4;7]$ hàm nghịch biến: GTLN $=y(4)=5$, GTNN $=y(7)=2$, tỉ số $=\frac{5}{2}\ne \frac{5}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm $x^2-(m+4)x+(3m-1)=0$ có $\Delta =m^2-4m+20=(m-2{)}^2+16>0$ với mọi $m$, và $x=3$ không phải nghiệm, nên luôn có 2 giao điểm phân biệt.