Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+x-m}{x-2}$, có đồ thị $(C_m)$ (với $m$ là tham số thực). Khi đó, xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+x-m}{x-2}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$.
a) Sai: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ nên không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$; hơn nữa $f^{\prime }$ đổi dấu qua các nghiệm của $x^2-4x+m-2=0$ (khi có nghiệm).
b) Đúng: với $m=5$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. Trên $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến trên khoảng này.
c) Sai: hàm có hai điểm cực trị khi phương trình $x^2-4x+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2$, tức $\Delta =16-4(m-2)=24-4m>0\iff m<6$ (với $m<6$ nghiệm khác 2 tự động). Vậy điều kiện là $m<6$, không phải $m>6$.
d) Sai: chia đa thức $f(x)=x+3+\frac{6-m}{x-2}$. Tại điểm cực trị $x_0$ có $x_0^2-4x_0+m-2=0\Rightarrow m=-x_0^2+4x_0+2$, suy ra $6-m=(x_0-2{)}^2$ và $y_0=x_0+3+(x_0-2)=2x_0+1$. Vậy hai điểm cực trị $A,B$ nằm trên đường thẳng $AB:2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến $AB$ là $d=\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3}{\sqrt{5}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$ đổi dấu, nên hàm không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=5$: $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai điểm cực trị khi $\Delta =24-4m>0\iff m<6$, không phải $m>6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng $y=2x+1$, khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3}{\sqrt{5}}$.