Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f(2)=-\frac{4}{19}$ và $f^{\prime }(x)=x^3{f}^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$. Giá trị của $f(1)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=2x{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.

Nếu $F^{\prime }(x)=\frac{1}{2x-1}$ và $F(1)=1$ thì giá trị của $F(4)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0)=4$ và $f^{\prime }(x)=2{\sin }^2\frac{x}{2}+3$, $\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó ${\int }_0^{\pi /2}f(x)dx=\frac{a{\pi }^2+b\pi +c}{2}$. Tính $a+b+c$.

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\cos x$ thỏa mãn $F(0)=1$ là

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hàm số $f(x)=2x+e^x$. Hàm số $F(x)$ là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $F(0)=2026$. Tính giá trị $F(1)$. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị )