Gọi $d$ là đường thẳng tùy ý đi qua điểm $M(1;1)$ và có hệ số góc âm. Giả sử $d$ cắt các trục $Ox,Oy$ lần lượt tại $A,B$. Quay tam giác $OAB$ quanh trục $Oy$ thu được một khối tròn xoay có thể tích là $V$. Giá trị nhỏ nhất của $V$ bằng

Gọi hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k<0$. Phương trình của $d$ là:
$y-1=k(x-1)⟺y=kx-k+1$.
- Cho $y=0⟹x_A=1-\frac{1}{k}>0$ (vì $k<0$).
- Cho $x=0⟹y_B=1-k>0$.
Khi quay tam giác vuông $OAB$ quanh trục $Oy$, ta thu được hình nón có bán kính đáy $R=OA=1-\frac{1}{k}$ và chiều cao $h=OB=1-k$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(1-\frac{1}{k}\right)}^2(1-k)$.
Đặt $t=-k>0$, ta có $1-\frac{1}{k}=1+\frac{1}{t}=\frac{t+1}{t}$ và $1-k=1+t$.
$V=\frac{\pi }{3}\frac{(t+1{)}^3}{t^2}$.
Xét hàm số $g(t)=\frac{(t+1{)}^3}{t^2}$ trên $(0;+\infty )$:
$g^{\prime }(t)=\frac{3(t+1{)}^2{t}^2-2t(t+1{)}^3}{t^4}=\frac{(t+1{)}^2(t-2)}{t^3}=0⟺t=2$.
Bảng biến thiên cho thấy $g(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=2$ với $g(2)=\frac{27}{4}$.
Vậy $V_{\min }=\frac{\pi }{3}\cdot \frac{27}{4}=\frac{9\pi }{4}$. Chọn B.