Trong không gian $Oxyz$, xét mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A(2;1;3)$ đồng thời cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt tại $M,N,P$ sao cho tứ diện $OMNP$ có thể tích nhỏ nhất. Giao điểm của đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\\ z=4+t\end{array}$ với $(P)$ có tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3;-2;1)$ và bay theo đường thẳng để hạ cánh tại vị trí $B\left(4;\frac{13}{2};0\right)$ trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua ba điểm $M(8;0;0);N(0;-8;0);P(0;0;0,8)$. Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y+z-3=0$. Tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z+1=0$ và điểm $A(3;0;-1)$. Gọi $H(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng $(P)$. Tính $P=a+b+c$.

Trong không gian $Oxyz$, mắt một người quan sát đặt tại điểm $M(1;2;3)$ và vật cần quan sát đặt tại điểm $N(2;3;-12)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng $Oxy$ tâm đặt tại gốc tọa độ, bán kính $R$ che khuất tầm nhìn của người quan sát. Khi đó bán kính của tấm bìa nhỏ nhất là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ có phương trình $-x+3z-2019=0$ song song với

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x+3y+4z-12=0$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tọa độ là