Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn $f(-2)=-2$, $f(2)=2$ và có bảng biến thiên như hình bên.


Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ thỏa mãn bất phương trình $f(-f(x))\ge m$ có nghiệm thuộc đoạn $[-1;1]$?

Chọn C.



Bất phương trình $f(-f(x))\ge m$ có nghiệm thuộc $[-1;1]$ khi và chỉ khi:
$m\le {\max }_{x\in [-1;1]}f(-f(x))$.
+) Xét $x\in [-1;1]$: Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$, ta thấy trên đoạn $[-1;1]$ hàm số nghịch biến từ $f(-1)=2$ xuống $f(1)=-2$.
Do đó khi $x\in [-1;1]$ thì $f(x)\in [-2;2]$.
Suy ra $u=-f(x)\in [-2;2]$.
+) Khi $u\in [-2;2]$, ta tìm giá trị lớn nhất của $f(u)$:
Từ bảng biến thiên của $f(u)$ trên đoạn $[-2;2]$:
- Tại $u=-2$, $f(-2)=-2$.
- Hàm số tăng từ $-2$ đến giá trị cực đại $f(-1)=2$.
- Sau đó giảm từ $2$ xuống cực tiểu $f(1)=-2$.
- Rồi tăng từ $-2$ đến $f(2)=2$.
Do đó giá trị lớn nhất của $f(u)$ trên đoạn $[-2;2]$ là ${\max }_{u\in [-2;2]}f(u)=2$.
Vậy bất phương trình có nghiệm thuộc $[-1;1]$ khi và chỉ khi $m\le 2$.
Vì $m$ là số tự nhiên nên $m\in \{0;1;2\}$.
Vậy có 3 số tự nhiên $m$ thỏa mãn.