Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1,\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+2)-f(2)}{x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x$ bởi $1-x$ trong $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1$ ta được $2f(1-x)+f(x)=(1-x{)}^2+2(1-x)-1=x^2-4x+2$. Hệ hai phương trình: $2f(x)+f(1-x)=x^2+2x-1$ và $f(x)+2f(1-x)=x^2-4x+2$. Nhân phương trình thứ hai với 2 rồi trừ phương trình thứ nhất: $3f(x)=2(x^2-4x+2)-(x^2+2x-1)=x^2-8x+3$, suy ra $f(x)=\frac{x^2-8x+3}{3}$... kiểm tra lại: thực hiện trừ theo hướng khác, từ phương trình thứ nhất $f(1-x)=x^2+2x-1-2f(x)$, thay vào thứ hai: $f(x)+2(x^2+2x-1-2f(x))=x^2-4x+2\Rightarrow -3f(x)=x^2-4x+2-2x^2-4x+2=-x^2-8x+4$, nên $f(x)=\frac{x^2+8x-4}{3}$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{2x+8}{3}$, do đó $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+2)-f(2)}{x}=f^{\prime }(2)=\frac{2\cdot 2+8}{3}=\frac{12}{3}=4$. Kết quả khớp với đáp án A.