Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

Tính tổng vô hạn sau đây $S=2+\frac{2}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{2}{3^n}+...$

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n-n^4}{4n^4-5}$ bằng

$\lim \left(2^n-1\right)$ bằng

3.1. Tính giới hạn sau ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\frac{2}{A_3^3}+\frac{3}{A_4^3}+\frac{4}{A_5^3}+\cdots +\frac{n-1}{A_n^3}\right)$.

3.2. Xét hàm số $f(x)=x^m(x-1{)}^n(x-2{)}^p$ với $m,n,p$ là các số nguyên dương. Tính tỉ số $\frac{m}{n}$ biết rằng phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 2 nghiệm là $x_1=\frac{6-\sqrt{15}}{7},x_2=\frac{6+\sqrt{15}}{7}$.

Cho dãy số $u_k=\frac{-5}{(k+2)\cdot (k+3)}$, với $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Đặt $S_n=u_1+u_2+\cdots +u_n$.

Bạn Lượng thả một quả bóng cao su từ độ cao $3m$ so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tính quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho đến lúc bóng không nảy nữa, đơn vị: mét)?