3.1. Tính giới hạn sau ${\lim }_{n\to +\infty }\left(\frac{2}{A_3^3}+\frac{3}{A_4^3}+\frac{4}{A_5^3}+\cdots +\frac{n-1}{A_n^3}\right)$.

3.2. Xét hàm số $f(x)=x^m(x-1{)}^n(x-2{)}^p$ với $m,n,p$ là các số nguyên dương. Tính tỉ số $\frac{m}{n}$ biết rằng phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có 2 nghiệm là $x_1=\frac{6-\sqrt{15}}{7},x_2=\frac{6+\sqrt{15}}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
**3.1.** Với $k\ge 3$, ta có $A_{k+1}^3=(k+1)k(k-1)$, nên số hạng tổng quát là
$$\frac{k}{A_{k+1}^3}=\frac{k}{(k+1)k(k-1)}=\frac{1}{(k-1)(k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k+1}\right).$$
Do đó tổng $S_n={\sum }_{k=3}^n\frac{k}{A_{k+1}^3}$ là tổng dạng telescoping:
$$S_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)\right].$$
Các số hạng trùng nhau triệt tiêu, chỉ còn
$$S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).$$
Vậy $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{5}{12}.$$

**3.2.** Ta có $f(x)=x^m(x-1{)}^n(x-2{)}^p$ với $m,n,p$ nguyên dương. Logarithmic differentiation:
$$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{m}{x}+\frac{n}{x-1}+\frac{p}{x-2}.$$
Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ (tại các điểm khác $0,1,2$) tương đương
$$m(x-1)(x-2)+nx(x-2)+px(x-1)=0,$$
tức là phương trình bậc hai
$$(m+n+p)x^2-(3m+2n+p)x+2m=0.$$
Hai nghiệm của nó là $x_{1,2}=\frac{6\mp \sqrt{15}}{7}$, nên theo Vi-ét:
$$x_1+x_2=\frac{12}{7}=\frac{3m+2n+p}{m+n+p},x_1{x}_2=\frac{36-15}{49}=\frac{3}{7}=\frac{2m}{m+n+p}.$$
Từ tích: $m+n+p=\frac{14m}{3}$. Thay vào tổng:
$$3m+2n+p=\frac{12}{7}\cdot \frac{14m}{3}=8m⟹2n+p=5m.$$
Mặt khác $n+p=\frac{14m}{3}-m=\frac{11m}{3}$. Trừ hai phương trình:
$$n=5m-\frac{11m}{3}=\frac{4m}{3}⟹\frac{m}{n}=\frac{3}{4}.$$
Khi đó $p=\frac{11m}{3}-\frac{4m}{3}=\frac{7m}{3}>0$, thỏa mãn $m,n,p$ nguyên dương (ví dụ $m=3,n=4,p=7$: kiểm tra lại tổng nghiệm $=\frac{9+8+7}{14}=\frac{12}{7}$, tích nghiệm $=\frac{6}{14}=\frac{3}{7}$ — đúng).

**Kết luận:** 3.1. Giới hạn bằng $\frac{5}{12}$; 3.2. $\frac{m}{n}=\frac{3}{4}$.