Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int f(x)dx=F(x)+C$. Tìm kết luận đúng.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm và nhận giá trị dương với mọi $x\in (0;+\infty )$. Biết $2[f(x)+x{f}^{\prime }(x)]=\sqrt{x}\cdot f^2(x),\forall x\in (0;+\infty )$ và $f(1)=1$. Giá trị ${\int }_1^{4}f(x)dx$ bằng:

Tìm nguyên hàm: $I=\int \sqrt{2x+1}dx$.

Tìm các hàm số $f(x)$ biết rằng $f^{\prime }(x)=\frac{\cos x}{(2+\sin x{)}^2}$.

Câu 6. Một bể chứa nước hình trụ thẳng đứng đang đầy nước. Khi mở một nút xả ở đáy bể, nước chảy ra ngoài với tốc độ giảm thể tích tỷ lệ thuận với căn bậc hai của thể tích nước hiện tại trong bể. Nếu gọi $V(t)$ là thể tích nước còn lại trong bể sau $t$ phút, tốc độ thay đổi thể tích được mô tả bởi phương trình: $V^{\prime }(t)=-k\sqrt{V(t)}$ với $k>0$. Biết bể ban đầu có lượng nước là 144 lít. Sau 10 phút xả, lượng nước còn lại trong bể là 64 lít. Hỏi sau bao lâu kể từ lúc mở nút xả thì bể sẽ cạn hoàn toàn? (Tính bằng phút).

Cho hàm số $f(x)$ có $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{m}$ ($m>0$) và $f^{\prime }(x)=\sin x\cdot e^{m\cos x},\forall x\in \mathbb{R}$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để $m\cdot f\left(\frac{\pi }{3}\right)\ge -e^{1009}$?

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)[f(x){]}^2=x{e}^x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=1$. Hỏi phương trình $f(x)=\frac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?