Nếu ${\int }_1^{2}f(x)dx=4$ thì ${\int }_1^2\left[\frac{1}{2}f(x)-2x\right]dx$ bằng

Cho $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=2,{\int }_{-1}^{0}f(x)dx=5$. Khi đó giá trị ${\int }_0^1(2f(x)+1)dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=x^2-4x+3$ và $y=x-1$ bằng

Giả sử hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f(\sin x+1)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, khi đó tích phân ${\int }_1^{\frac{3}{2}}f(x)dx$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$. Đường thẳng $y=ax+b$ tạo với đường $y=f(x)$ hai miền phẳng có diện tích là $S_1,S_2$ (hình vẽ bên).



Biết $S_1=\frac{5}{12}$ và ${\int }_0^1(1-2x)f^{\prime }(3x)dx=-\frac{1}{2}$, giá trị của $S_2$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn $[a;b]$. Xét hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$. Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng $(H)$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

Cho hàm số $y=f(x)=\sqrt{x}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=9$. Cho $M(m;\sqrt{m})$ là một điểm di động trên đồ thị $(C)$; gọi $S_1$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=m$ ($0<m<9$) (tham khảo hình vẽ bên dưới).