Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm và nhận giá trị dương với mọi $x\in (0;+\infty )$. Biết $2[f(x)+x{f}^{\prime }(x)]=\sqrt{x}\cdot f^2(x),\forall x\in (0;+\infty )$ và $f(1)=1$. Giá trị ${\int }_1^{4}f(x)dx$ bằng:

Câu 1. Một bảng quảng cáo được minh hoạ bằng phần được tô màu như hình bên, đơn vị trên các trục đo bằng mét. Biết đường cong là một parabol có đỉnh $I(5;0)$ và $OABC$ là hình chữ nhật. Tính diện tích của bảng quảng cáo theo mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét vuông).

Câu 6. Cho hàm số $f(x)=2^{x^2}$ và hàm số $g(x)=\sqrt{{\log }_{2}x}$. Giả sử $S={\int }_1^{20}f(x)dx+{\int }_2^{2^{400}}g(x)dx$ được viết dưới dạng $S=a\cdot 2^b-c$, với $b$ là số nguyên và $a,c$ là các số nguyên tố. Tính $a+b+c$.

Tính $I={\int }_0^1(3x^2-2x+3)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^2[f(x)+3x^2]dx=10$. Tính ${\int }_0^{2}f(x)dx$.

Cho ${\int }_0^{9}f(x)dx=37$ và ${\int }_9^{0}g(x)dx=16$, khi đó ${\int }_0^9[2f(x)+3g(x)]dx$ bằng

Cho hàm số $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ trên $[1;4]$. Biết $F(1)=1,F(4)=2$ và ${\int }_1^4\frac{F(x)}{2x+1}dx=5$. Tính $I={\int }_1^4\ln (2x+1)f(x)dx$.